3つの扉がある。
1つの扉の後ろにはスポーツカーがある(あたり)。
残りの2つの後ろには山羊が居る(ハズレ)。
どの扉をあたりにして、どの扉をハズレにするかは、
乱数で予め決定しておく。
ここに司会者と参加者を一人づつ用意する (まぁ、司会者が3人も4人もいたら話はまとまらなくなると思うから、 一人が良い所だろう)。 司会者には予めどの扉があたりなのか教えておく。 参加者はどの扉があたりか知らない。
さて、参加者は最初に3つの扉から1つを選ばされる。
司会者が言う。
「私は本当の正解を知っています。
「そこで、残りの2つの扉の内、ハズレの扉を1つ開けて差し上げます」
3つの内2つはハズレなのだから、
参加者がどの扉を選んだとしても残り2つの扉の内最低限1つはハズレの扉になる。
司会者はその扉を開く。
当然山羊が現れる。
「さて」、司会者は続ける。
「1度だけ扉を交換することができます。
扉を今選んでいるもののままにしますか?
それともまだ開いていない残り1つの扉にしますか?」
参加者は扉を交換するべきだろうか?するべきではないのか?
どうしても同じ確率なのだろうか?
大抵の人は
「どちらでも同じ確率で 50% づつだ」
と答えてくる。どうもそれが直感的な答らしい。
さて、この問題の数学的な解析は次のようになる。
まず、最初に3つの扉を順にA,B,Cと名付ける。 参加者がAの扉を選ぶ場合について考えよう。 この上で2つの表をつくる。 1つは選択を変えた場合、もう一つは変えなかった場合である。 それぞれの場合についてどこにあたりがあるのか、 そのあり得る初期状態をすべて列挙して数えていく。
| A | B | C | あたり/はずれ |
|---|---|---|---|
| 車 | 山羊 | 山羊 | はずれ |
| 山羊 | 車 | 山羊 | あたり |
| 山羊 | 山羊 | 車 | あたり |
| A | B | C | あたり/はずれ |
|---|---|---|---|
| 車 | 山羊 | 山羊 | あたり |
| 山羊 | 車 | 山羊 | はずれ |
| 山羊 | 山羊 | 車 | はずれ |
見て解る通り、 参加者がAを選んだ場合に扉を変更するとあたりである確率は2/3。 扉を変更しない場合は 1/3である。 参加者がB,Cを選んだ場合はあたり、はずれの組合わせは変わるが、 数自体は変わらない。結果として全体でも扉を変更すれば2/3、 扉を変更しなければ1/3の確率で車を当てることができる。
つまり、扉は常に変えた方が良いわけだ。
なぜこのようなことになるのか。
「司会者が扉を1つ開いたではないか。」
と言う人が居るかも知れない。
「その影響が出ないというのはおかしい」と。
影響はあるのだ。 ただし、司会者の行動は大抵の人が感じる直感的な影響とは違う。 司会者は残った扉の内、必ずハズレの方を開くというのが キーだ。
残った2つの扉の内、片方は常にはずれである。 ということは、今選択している扉がハズレているならば、 司会者は必ず残った扉があたりになるように扉を開くということだ。
選択している扉がハズレである確率は、最初の段階で2/3である。 司会者が100%の確率の行動を行う限り 参加者が最初に選んだ段階で発生した確率は変化しない。 ここがキーであり、直感がおかしな判断を下す理由である。